问题详情:
已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,O是坐标原点,点A的坐标是(﹣1,0),点C的坐标是(0,﹣3).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)求直线BC的函数表达式和∠ABC的度数;
(3)P为线段BC上一点,连接AC,AP,若∠ACB=∠PAB,求点P的坐标.
【回答】
【考点】二次函数综合题.
【专题】压轴题.
【分析】(1)直接将A,C点坐标代入抛物线解析式求出即可;
(2)首先求出B点坐标,进而利用待定系数法求出直线BC的解析式,进而利用CO,BO的长求出∠ABC的度数;
(3)利用∠ACB=∠PAB,结合相似三角形的判定与*质得出BP的长,进而得出P点坐标.
【解答】解:(1)将点A的坐标(﹣1,0),点C的坐标(0,﹣3)代入抛物线解析式得:
,
解得:,
故抛物线解析式为:y=x2﹣2x﹣3;
(2)由(1)得:0=x2﹣2x﹣3,
解得:x1=﹣1,x2=3,故B点坐标为:(3,0),
设直线BC的解析式为:y=kx+d,
则,
解得:,
故直线BC的解析式为:y=x﹣3,
∵B(3,0),C(0,﹣3),
∴BO=OC=3,
∴∠ABC=45°;
(3)过点P作PD⊥x轴于点D,
∵∠ACB=∠PAB,∠ABC=∠PBA,
∴△ABP∽△CBA,
∴=,
∵BO=OC=3,
∴BC=3,
∵A(﹣1,0),B(3,0),
∴AB=4,
∴=,
解得:BP=,
由题意可得:PD∥OC,
∴DB=DP=,
∴OD=3﹣=,
则P(,﹣).
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与*质以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式等知识,熟练应用相似三角形的判定方法得出△ABP∽△CBA是解题关键.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题